Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Alors $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , donc $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2} x$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\cos^{2} (u_{1})$ et $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{2}{π}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{2}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 10

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Étape 15.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Étape 15.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

Étape 15.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Étape 15.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Étape 15.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

Étape 15.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$