Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (u + 5) (u - 6) d u$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} u (u - 6) + 5 (u - 6) d u$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} u \cdot u + u \cdot - 6 + 5 (u - 6) d u$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} u \cdot u + u \cdot - 6 + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 6$ .

$\int_{0}^{1} u \cdot u - 6 \cdot u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Étape 1.5

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Étape 1.6

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{1} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{1 + 1} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Étape 1.9

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - 6 u + 5 u - 30 d u$

Étape 1.10

Additionnez $- 6 u$ et $5 u$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - u - 30 d u$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} - u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 30 u]_{0}^{1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ et $- 30 u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 30 u]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3} - 30 u$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 30 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 30 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - 30 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 30 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 30 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4

Pour écrire $- 30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 30 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.5

Associez $- 30$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 30 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 30 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.1

Multipliez $- 30$ par $3$ .

$\frac{1 - 90}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.7.2

Soustrayez $90$ de $1$ .

$\frac{- 89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$- \frac{89}{3} - (0 - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $- 30$ par $0$ .

$- \frac{89}{3} - (0 + 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{89}{3} - 0 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{89}{3} + 0 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.14

Additionnez $- \frac{89}{3}$ et $0$ .

$- \frac{89}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 8.2.3.17

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 8.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.3.17.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 8.2.3.18

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 8.2.3.19

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$- \frac{89}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.20

Pour écrire $- \frac{89}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{89}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.21

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{89}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.2.3.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.22.1

Multipliez $\frac{89}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.2.3.22.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.2.3.22.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 8.2.3.22.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 8.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 89 \cdot 2 - 3}{6}$

Étape 8.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.24.1

Multipliez $- 89$ par $2$ .

$\frac{- 178 - 3}{6}$

Étape 8.2.3.24.2

Soustrayez $3$ de $- 178$ .

$\frac{- 181}{6}$

Étape 8.2.3.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{181}{6}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{181}{6}$

Forme décimale :

$- 30.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$- 30 \frac{1}{6}$

Étape 10