Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) \tan (x) (1 + \sec (x)) d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$0 + \sec (x) \tan (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + \sec (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sec (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + \sec (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sec (\frac{π}{3})$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{3} u d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{3}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $3$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Étape 3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 3.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.5

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 3.2.6.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{9}{2} - 2$

Étape 3.2.7

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.8

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{9 - 4}{2}$

Étape 3.2.10.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{2}$