Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $u]_{0}^{1}$ et $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $u + \frac{u^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Étape 9.2.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Étape 9.2.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Étape 9.2.9

Additionnez $\frac{4}{3}$ et $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Étape 9.2.10

Associez $5$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Étape 9.2.11

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{20}{3}$

Forme décimale :

$6.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$6 \frac{2}{3}$