Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2} - \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7 - 1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ de $7$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{6}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{3}{1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5 - 1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.9

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{4}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2}{1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Étape 4.13

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.14.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 4.14.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{1} d x$

Étape 4.15

Simplifiez

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 6

Comme $52$ est constant par rapport à $x$ , placez $52$ en dehors de l’intégrale.

$52 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$52 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 9

Comme $- 66$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 66$ en dehors de l’intégrale.

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Étape 12

Comme $22$ est constant par rapport à $x$ , placez $22$ en dehors de l’intégrale.

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 \int_{0}^{1} x d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 14.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$52 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 14.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 14.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4

Simplifiez

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Étape 14.2.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 14.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$52 (\frac{1}{4} - 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$52 (\frac{1}{4} + 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.5

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$52 (\frac{1}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.6

Associez $52$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{52}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.7

Annulez le facteur commun à $52$ et $4$ .

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Étape 14.2.4.7.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.4.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 (1)} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.7.2.4

Divisez $13$ par $1$ .

$13 - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 14.2.4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.4.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} + 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.12

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.13

Associez $- 66$ et $\frac{1}{3}$ .

$13 + \frac{- 66}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.14

Annulez le facteur commun à $- 66$ et $3$ .

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Étape 14.2.4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $- 66$ .

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.4.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 (1)} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 \cdot 1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$13 + \frac{- 22}{1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.14.2.4

Divisez $- 22$ par $1$ .

$13 - 22 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.15

Soustrayez $22$ de $13$ .

$- 9 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 14.2.4.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 14.2.4.18

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 14.2.4.18.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 14.2.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.4.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 14.2.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 14.2.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 14.2.4.18.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 14.2.4.19

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 14.2.4.20

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2})$

Étape 14.2.4.21

Associez $22$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 9 + \frac{22}{2}$

Étape 14.2.4.22

Annulez le facteur commun à $22$ et $2$ .

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Étape 14.2.4.22.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2}$

Étape 14.2.4.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.4.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 (1)}$

Étape 14.2.4.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 1}$

Étape 14.2.4.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 + \frac{11}{1}$

Étape 14.2.4.22.2.4

Divisez $11$ par $1$ .

$- 9 + 11$

Étape 14.2.4.23

Additionnez $- 9$ et $11$ .

$2$

Étape 15