Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + x$ . Alors $d u = (2 x + 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 4.2.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Étape 4.2.7

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.8

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0$

Étape 4.2.9

Additionnez $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ et $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Forme décimale :

$1.88561808 \dots$

Étape 6