Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{x - 4} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x^{3} (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{3} \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3} \cdot 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3} \cdot 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 3}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{6}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x - 4$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x - 4$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 5.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(u_{1} + 4)}^{2} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = u_{1} + 4$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 4$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 4$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Étape 6.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $4$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7

Laissez $u_{3} = u_{2} - 4$ . Puis $d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{3} = u_{2} - 4$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{2} - 4$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Étape 7.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(u_{3} + 4)}^{2} d u_{3}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez ${(u_{3} + 4)}^{2}$ comme $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((u_{3} + 4) (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.8

Remettez dans l’ordre $u_{3}$ et $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.9

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.10

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Étape 8.11

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

Étape 8.12

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.14

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.16

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.17

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.19

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.21

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.24

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.27

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.29

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.31

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.32

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.33

Additionnez $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ et $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.34

Remettez dans l’ordre $8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ et $16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}$

Étape 8.35

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (\int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 10

Comme $16$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 12

Associez $\frac{2}{5}$ et ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 13

Comme $8$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 15

Associez $\frac{2}{7}$ et ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C)$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Associez $\frac{2}{9}$ et ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C)$

Étape 17.2

Simplifiez

$\frac{2}{3} x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3

Simplifiez

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Étape 17.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.2

Associez $\frac{2 x^{3}}{3}$ et ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.3

Associez $16$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{16 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.5

Associez $8$ et $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{8 \cdot 2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.7

Associez $\frac{32}{5}$ et ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.8

Associez $\frac{16}{7}$ et ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Étape 17.3.9

Associez $\frac{2}{9}$ et ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) + C$

Étape 17.3.10

Pour écrire $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 17.3.11

Associez $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 17.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 17.3.13

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $u_{2} - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{2} - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{2} - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}})) + C$