Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ et $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $0$ et $\sin (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Étape 5.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

Étape 5.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

Étape 5.3.4

Multipliez $π$ par $0$ .

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

Étape 5.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Étape 5.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Étape 5.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

Étape 5.3.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 0 + 1 - 0$

Étape 5.3.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 1 - 0$

Étape 5.3.7

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 - 0$

Étape 5.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$