Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (14 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 14 x$ . Alors $d u = 14 d x$ , donc $\frac{1}{14} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 14 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [14 x]$

Étape 1.1.2

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $14$ par $1$ .

$14$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 14 x$ .

$u_{lower} = 14 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $14$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 14 x$ .

$u_{upper} = 14 \frac{π}{2}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$u_{upper} = 2 (7) \frac{π}{2}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \cdot 7 \frac{π}{2}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 7 π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{7 π} \cos (u) \frac{1}{14} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{14}$ .

$\int_{0}^{7 π} \frac{\cos (u)}{14} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{14}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{14}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{14} \int_{0}^{7 π} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{14} \sin (u)]_{0}^{7 π}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $7 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - \sin (0))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - 0)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) + 0)$

Étape 6.3

Additionnez $\sin (7 π)$ et $0$ .

$\frac{1}{14} \sin (7 π)$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{14}$ et $\sin (7 π)$ .

$\frac{\sin (7 π)}{14}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sin (π)}{14}$

Étape 7.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (0)}{14}$

Étape 7.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{14}$

Étape 7.2

Divisez $0$ par $14$ .

$0$