Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 6 \sin (2 x) d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$6 \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{π})$

Étape 7

Évaluez $- \cos (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$3 (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 (- \cos (π) + 1)$

Étape 9

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Étape 9.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$3 (- - \cos (0) + 1)$

Étape 9.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (- - 1 + 1)$

Étape 9.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (1 + 1)$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \cdot 2$

Étape 9.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$6$