Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.2

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ sur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.2

Associez.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.3

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.3.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 7.1.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.4

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Étape 7.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

Étape 7.5

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

Étape 7.7

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

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Étape 7.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

Étape 7.7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 7.7.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Étape 7.7.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{1}{16}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{16}$

Forme décimale :

$0.0625$