Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez $y^{2} + 2 y - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{y - 1}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(y - 1) (y + 3)$ .

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.6.2

Divisez $y - 2$ par $1$ .

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $(A) (y + 3)$ par $1$ .

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.7.3

Déplacez $3$ à gauche de $A$ .

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.7.4

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Étape 1.1.7.4.2

Divisez $(B) (y - 1)$ par $1$ .

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

Étape 1.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

Étape 1.1.7.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

Étape 1.1.7.7

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

Étape 1.1.8

Déplacez $3 A$ .

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 2 = 3 A - 1 B$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 2 = 3 A - 1 B$ par $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $3 (1 - B) - 1 B$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.4

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.2

Soustrayez $B$ de $- 3 B$ .

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $- 2 = 3 - 4 B$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $3 - 4 B = - 2$ .

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 4 B = - 5$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 B = - 5$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{5}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{5}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{5}{4})$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Étape 1.3.4.2.1.3

Soustrayez $5$ de $4$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Étape 1.3.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{y - 1}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Étape 1.5.3

Déplacez $4$ à gauche de $y - 1$ .

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Étape 1.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

Étape 1.5.5

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{1}{y + 3}$ .

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Étape 5

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Étape 7

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{5}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

Étape 8

Laissez $u_{2} = y + 3$ . Puis $d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 8.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y + 3$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$