Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

Étape 1

Laissez $u = 3 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 - y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3

Développez $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.4

Déplacez les parenthèses.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.6

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.7

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.11

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3.13

Soustrayez $3 u^{- \frac{2}{3}}$ de $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 8.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - y$ .

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$