Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{\sec^{2} (0) - 1}{\cos (0)}$

Étape 4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\tan^{2} (0)}{\cos (0)}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{\cos (0)}$

Étape 4.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 4.5

Divisez $0$ par $1$ .

$0$