Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt[3]{x} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = \sqrt[3]{x}$ .

$\ln (x) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (x) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x} d x)$

Étape 4.2

Placez $x^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} x^{- 1} d x)$

Étape 4.3

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1} d x)$

Étape 4.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} d x)$

Étape 4.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} d x)$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} d x)$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 3}{3}} d x)$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x)$

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$ comme $\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{3 \ln (x)}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 6.2.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$