Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{8 - 3 x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ est positif.

$\int \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\int \sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{1} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\int \sqrt{4 \cdot 2 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.5

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.6.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.8

Associez $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ et $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.9.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.10.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 2.1.1.10.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.10.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.2.5

Évaluez l’exposant.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.10.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\int \sqrt{8 + 3 (- 1) \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.12.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.13

Annulez le facteur commun à $24$ et $3$ .

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Étape 2.1.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $24 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 (1)}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{8 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.13.2.4

Divisez $8 \sin^{2} (t)$ par $1$ .

$\int \sqrt{8 - 1 (8 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.1.14

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{8 - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\int \sqrt{8 (1) - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{8 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{8 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $8 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\int \sqrt{4 (2) \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.6.3

Déplacez $2$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cos^{2} (t) \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.6.4

Réécrivez $2^{2} \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int 2 \cos (t) \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ et $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{6} \cos (t) \cdot 2}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ et $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t) \cos (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.4

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.5

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{4 \sqrt{6} {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3}$ et $\sqrt{2}$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t) \sqrt{2}}{3} d t$

Étape 2.2.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int \frac{4 \sqrt{2 \cdot 6} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $6$ .

$\int \frac{4 \sqrt{12} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Étape 3

Comme $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{12}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 (3)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}))) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))) + C$

Étape 15.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}))) + C$

Étape 15.1.2.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}))) + C$

Étape 15.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}))) + C$

Étape 15.1.2.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}))) + C$

Étape 15.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}))) + C$

Étape 15.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}))) + C$

Étape 15.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Étape 15.1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Étape 15.1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Étape 15.1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Étape 15.1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}))) + C$

Étape 15.1.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Étape 15.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Étape 15.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2}))) + C$

Étape 15.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))) + C$

Étape 15.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ et $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Étape 15.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Étape 15.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})) + C$

Étape 15.5

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 16.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Étape 16.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x)) + C$