Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ est indéfinie.

$x = - 4, x = - 1$

Étape 2

Comme $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 16)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 6.1.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2})}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 6.1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 6.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x - 1) (x - 4)}{x + 1}$

Étape 6.2

Développez $(3 x - 1) (x - 4)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (x - 4) - 1 (x - 4)}{x + 1}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 (x - 4)}{x + 1}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.4

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.9

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Étape 6.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x + 4}{x + 1}$

Étape 6.2.11

Soustrayez $1 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{x + 1}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$13 x$

$4$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} + 3 x$

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					-	$16 x$	-	$16$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 16 x - 16$

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$
							+	$20$

Étape 6.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$3 x - 16 + \frac{20}{x + 1}$

Étape 6.14

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$3 x - 16 + \frac{20 x + 80}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 6.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x - 16$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x - 16$

Étape 8