Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (t)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Associez $t$ et $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 3

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 t + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$2 t$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

Étape 3.3

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Étape 3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

Étape 3.3.5

Simplifiez

$u_{lower} = x + 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

Étape 3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

Étape 3.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\arctan (t) t$ sur $2 x$ et sur $\sqrt{x}$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Étape 7.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $4 x^{2} + 1$ et sur $x + 1$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

Étape 7.3

Supprimez les parenthèses.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Étape 9.1.2

Associez $\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Étape 9.2

Pour écrire $2 \arctan (2 x) x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Étape 9.3

Associez $2 \arctan (2 x) x$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Étape 9.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$