Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{\sqrt{t}} d t$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Factorisez $t$ à partir de $t - 2 t^{8}$ .

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Étape 2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{t^{1} - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $t$ à partir de $- 2 t^{8}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})$ .

$\int \frac{t (1 - 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 2.2

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int t (1 - 2 t^{7}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.3

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t (1 - 2 t^{7}) d t$

Étape 2.3.2

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 2.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Étape 2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Étape 2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Étape 2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Étape 2.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Étape 3

Développez $t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7})$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $t^{\frac{1}{2}}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $t^{\frac{1}{2}}$ et $- 2$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Étape 3.4

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7} d t$

Étape 3.6

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Étape 3.7

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}} d t$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 7 \cdot 2}{2}} d t$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 14}{2}} d t$

Étape 3.9.2

Additionnez $1$ et $14$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int t^{\frac{15}{2}} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{15}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{17}) t^{\frac{17}{2}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$