Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Étape 1.2

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Étape 1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Étape 1.4

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Étape 1.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.7

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.9

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.1

Déplacez $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.9.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 1.9.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Étape 1.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$