Calcul infinitésimal Exemples

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{2}$ et $d v = \sin (B t)$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $t^{2}$ et $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

Étape 2.3

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

Étape 2.4

Associez $\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ et $t$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Étape 4.2

Multipliez $\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ par $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Étape 5

Comme $\frac{2}{B}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{2}{B}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = \cos (B t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Étape 7

Associez $t$ et $\frac{\sin (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{B}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{B}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

Étape 9

Laissez $u = B t$ . Alors $d u = B d t$ , donc $\frac{1}{B} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Laissez $u = B t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Différenciez $B t$ .

$\frac{d}{d t} [B t]$

Étape 9.1.2

Comme $B$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $B t$ par rapport à $t$ est $B \frac{d}{d t} [t]$ .

$B \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$B \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$B$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

Étape 10

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{B}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{B}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

Étape 12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{B}$ par $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

Étape 12.2

Élevez $B$ à la puissance $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

Étape 12.3

Élevez $B$ à la puissance $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

Étape 12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Étape 12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Réécrivez $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ comme $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

Étape 14.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Pour écrire $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

Étape 14.2.2

Associez $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ et $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Étape 14.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Étape 14.2.4

Associez $B$ et $\frac{2}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 14.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $B$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 14.2.6

Annulez le facteur commun de $B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 14.2.6.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $B t$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.1.2

Associez $2$ et $\frac{t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.1.3

Associez $2$ et $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2} \cos (B t)$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 16.7

Réécrivez $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ comme $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ .

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Étape 16.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Étape 16.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$