Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Étape 1

Factorisez $\sqrt{t}$ à partir de $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $\sqrt{t}$ à partir de $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Étape 1.2

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Étape 1.3

Factorisez $\sqrt{t}$ à partir de $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Étape 2.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Étape 2.2.3

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.1

Déplacez $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.3

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.6.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Étape 2.2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Étape 3

Développez $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $t^{- \frac{3}{2}}$ et $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 3.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 3.7

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 3.8

Multipliez $t^{- \frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$