Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{2} (4 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 11

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 (4 x))) + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (8 x)) + C$

Étape 16.1.2

Associez $\sin (8 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 16.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (x)) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

Étape 16.5

Multipliez $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2})$ .

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Étape 16.5.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{\sin (8 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{8 \cdot 2} + C$

Étape 16.5.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{16} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin (8 x) + C$