Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = \sec (4 x)$ . Alors $d u_{2} = 4 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = \sec (4 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$4 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u_{2} + C$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Étape 4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (4 x) + C$