Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Inversez l’exposant de $e^{- z}$ et placez-le hors du dénominateur.

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- z})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- z \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 3.2.2

Multipliez $e^{z}$ par $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 4

L’intégrale de $e^{z}$ par rapport à $z$ est $e^{z}$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $z$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{z}$ par rapport à $z$ est $\ln (| z |)$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1.1

Évaluez $e^{z}$ sur $- 1$ et sur $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\ln (| z |)$ sur $- 1$ et sur $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

Étape 8.1.3

Supprimez les parenthèses.

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

Étape 8.2.2

Associez $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.2.3

Pour écrire $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.2.4

Associez $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.4

Associez $9$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.5

Multipliez $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ .

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Étape 8.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.5.2

Associez $- 9$ et $\frac{1}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

Étape 8.3.7

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 20$ et $0$ est $20$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.9.1

Pour écrire $\frac{9}{e}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $e^{20}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.9.2.1

Multipliez $\frac{9}{e}$ par $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9.2.2

Multipliez $e$ par $e^{19}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.9.2.2.1

Multipliez $e$ par $e^{19}$ .

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Étape 8.3.9.2.2.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9.2.2.2

Additionnez $1$ et $19$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Étape 8.3.9.4

Pour écrire $- \ln (\frac{1}{20})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Étape 8.3.9.5

Associez $- \ln (\frac{1}{20})$ et $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Étape 8.3.9.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Étape 8.3.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.3.11

Multipliez $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

Étape 8.3.12

Déplacez $3$ à gauche de $e^{20}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

Étape 8.3.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Forme décimale :

$2.10221574 \dots$

Étape 10