Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x + 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 1.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 {(x + 3)}^{2}$ .

$12 {(x + 3)}^{2}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ par $12$ .

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez ${(x + 3)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

Étape 4.2.3

Multipliez $12$ par $9$ .

$f'' (- 6) = 108$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $108$ .

$108$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

Étape 5.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

Étape 5.2.3

Multipliez $12$ par $9$ .

$f'' (0) = 108$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $108$ .

$108$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(- 3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7