Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) - 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ comme une équation.

$y = 2 \sin (x) - 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \sin (y) - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (y) - 1 = x$ .

$2 \sin (y) - 1 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (y) = x + 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 \sin (y) = x + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (y) = x + 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sin (x) - 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) - 1 + 1}{2})$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $2 \sin (x) - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x) + 0}{2})$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $2 \sin (x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Étape 5.2.5.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (x) - 1) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) - 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 1 - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$