Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $- \frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $2 y$ sur $4$ et sur $- 2$ .

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2}$ sur $4$ et sur $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Étape 7.3

Évaluez $\frac{1}{3} y^{3}$ sur $4$ et sur $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.3

Additionnez $8$ et $4$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.6

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 7.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.6.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.9

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.10

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 7.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.10.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.11

Soustrayez $2$ de $8$ .

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.13

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 7.4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.13.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.14

Additionnez $12$ et $3$ .

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.15

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.16

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Étape 7.4.17

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Étape 7.4.18

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Étape 7.4.19

Associez $8$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Étape 7.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

Étape 7.4.21

Additionnez $64$ et $8$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

Étape 7.4.22

Annulez le facteur commun à $72$ et $3$ .

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Étape 7.4.22.1

Factorisez $3$ à partir de $72$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

Étape 7.4.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.22.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Étape 7.4.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Étape 7.4.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

Étape 7.4.22.2.4

Divisez $24$ par $1$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

Étape 7.4.23

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

Étape 7.4.24

Associez $- 24$ et $\frac{1}{4}$ .

$15 + \frac{- 24}{4}$

Étape 7.4.25

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $4$ .

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Étape 7.4.25.1

Factorisez $4$ à partir de $- 24$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Étape 7.4.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.25.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Étape 7.4.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Étape 7.4.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 + \frac{- 6}{1}$

Étape 7.4.25.2.4

Divisez $- 6$ par $1$ .

$15 - 6$

Étape 7.4.26

Soustrayez $6$ de $15$ .

$9$

Étape 8