Calcul infinitésimal Exemples

$\int - 15 x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Étape 1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 15$ en dehors de l’intégrale.

$- 15 \int x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Étape 2

Laissez $u = - 3 x^{5} - 1$ . Alors $d u = - 15 x^{4} d x$ , donc $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - 3 x^{5} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5} - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{5} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 x^{4} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $- 15 x^{4}$ et $0$ .

$- 15 x^{4}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 15 \int u^{5} \frac{1}{- 15} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 15 \int u^{5} (- \frac{1}{15}) d u$

Étape 3.2

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{15}$ .

$- 15 \int - \frac{u^{5}}{15} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 15 (- \int \frac{u^{5}}{15} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 15$ .

$15 \int \frac{u^{5}}{15} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{15}$ en dehors de l’intégrale.

$15 (\frac{1}{15} \int u^{5} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{15}$ et $15$ .

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int u^{5} d u$

Étape 7.3

Multipliez $\int u^{5} d u$ par $1$ .

$\int u^{5} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{1}{6} {(- 3 x^{5} - 1)}^{6} + C$