Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 4 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 4 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $16$ à partir de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de produit à $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.7

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.9

Réécrivez $4096 \cos^{6} (t)$ comme ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $4 \cos (t)$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $4 \cos (t)$ à partir de $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ à $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$