Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Étape 2

Réécrivez $x^{3}$ comme ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Alors $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

Étape 3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

Étape 3.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 27$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 4

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Étape 4.1

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$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ par $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Étape 4.3

Déplacez $3$ à gauche de $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 6.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Alors $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $8 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$8 + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$8$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Étape 7.3

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Étape 7.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Étape 7.3.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$u_{lower} = 9$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Étape 7.5

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Étape 7.5.1

Multipliez $8$ par $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Étape 7.5.2

Additionnez $216$ et $1$ .

$u_{upper} = 217$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Étape 8.2

Déplacez $8$ à gauche de $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 10

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Étape 12

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $217$ et sur $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Étape 13

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Étape 13.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Étape 14

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Étape 14.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $217$ est $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Étape 14.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Forme décimale :

$0.79566819 \dots$

Étape 16