Calcul infinitésimal Exemples

$\int 1 - \csc^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \csc^{2} (2 x) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \csc^{2} (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \csc^{2} (2 x) d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - \int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\csc^{2} (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u)$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$x + \frac{\cot (u)}{2} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x + \frac{\cot (2 x)}{2} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$x + \frac{1}{2} \cot (2 x) + C$