Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.1.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Étape 7.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3

Simplifiez

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Étape 7.1.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.4

Pour écrire $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 7.1.3.5

Associez $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 7.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 7.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Étape 7.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Étape 7.3.3

Divisez $e$ par $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Étape 7.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Étape 7.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Étape 7.3.6

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Forme décimale :

$2.19452804 \dots$

Étape 9