Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3} - 3 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

Étape 2

Divisez $4 x^{2} - 3$ par $x$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} + 0$

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 2.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

Étape 2.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Étape 9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $e$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Étape 11.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $e$ et sur $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 11.3.5

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Étape 11.3.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

Étape 11.3.7

Divisez $e$ par $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

Étape 11.3.8

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

Étape 11.3.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

Étape 11.3.10

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 e^{2} - 5$

Forme décimale :

$9.77811219 \dots$

Étape 13