Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{120} 10 + \sqrt{t} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{120} 10 d t + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$10 t]_{0}^{120} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $10 t]_{0}^{120}$ et $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$ .

$10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ sur $120$ et sur $0$ .

$(10 \cdot 120 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}}) - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $10$ par $120$ .

$1200 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $120^{\frac{3}{2}}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $10$ par $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 5.2.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 5.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 5.2.2.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 0)$

Étape 5.2.2.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - 0$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} + 0$

Étape 5.2.2.11

Additionnez $1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forme décimale :

$2076.35609200 \dots$

Étape 7