Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{y}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = y$ et $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Étape 3.7.2

Additionnez $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Étape 5.2.1.4

Déplacez $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $- 1 y'$ comme $- y'$ .

$y' x^{2} = - y' x + y$

Étape 5.3.2

Ajoutez $y' x$ aux deux côtés de l’équation.

$y' x^{2} + y' x = y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x^{2} + y' x$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' x \cdot x + y' x = y$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x$ .

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ .

$y' x (x + 1) = y$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' x (x + 1) = y$ par $x (x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' x (x + 1) = y$ par $x (x + 1)$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$