Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 4.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 4.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Étape 8.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Étape 9.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Étape 10.7

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

Étape 10.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Étape 10.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Étape 10.10

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 10.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$4 + 0$

Étape 10.12

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$