Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{0}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{9}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $0$ .

$(2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.4

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 3 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$6 - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$6 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$6 - 2 \cdot 0^{1}$

Étape 3.2.9

Évaluez l’exposant.

$6 - 2 \cdot 0$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$6 + 0$

Étape 3.2.11

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 4