Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Étape 2

Comme $- c$ est constant par rapport à $x$ , placez $- c$ en dehors de l’intégrale.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Étape 3.2

Multipliez $c$ par $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Étape 4

Laissez $u = - \frac{x}{c}$ . Alors $d u = - \frac{1}{c} d x$ , donc $- c d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - \frac{x}{c}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Étape 4.1.2

Comme $- \frac{1}{c}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{c}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Étape 4.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Étape 4.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Étape 5.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{c}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Étape 5.3

Multipliez $c$ par $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Étape 6

Comme $- c$ est constant par rapport à $u$ , placez $- c$ en dehors de l’intégrale.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Étape 7.2

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ sur $8$ et sur $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Étape 9.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- \frac{8}{c}$ et sur $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Étape 9.3.3

Multipliez $c$ par $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Étape 9.3.4

Multipliez $0$ par $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Étape 9.3.5

Additionnez $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ et $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Étape 9.3.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Étape 10.2

Multipliez $- c^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Étape 10.2.2

Multipliez $c^{2}$ par $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Étape 11