Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (4 x)$ . Alors $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (4 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 2

Associez ${u_{2}}^{6}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{6}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ sur $0$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 5.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Étape 5.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Étape 5.2.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Étape 5.2.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 5.2.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0$