Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

Étape 1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

Étape 1.2

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $0.25$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

Étape 2.5

Multipliez $4$ par $0.5$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{5})$

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\arcsin (\frac{u}{5})$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $5$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $5$ comme $1 (5)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Étape 7.1.2

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.20135792$ .

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

Étape 7.1.4

Soustrayez $0.20135792$ de $0.41151684$ .

$\frac{0.21015892}{4}$

Étape 7.2

Divisez $0.21015892$ par $4$ .

$0.05253973$

Étape 8