Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ est continu.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Étape 1.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} \geq 0$

Étape 1.1.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 1.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.1.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq 0$

Étape 1.1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ est différentiable.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.8

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.12

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 2.1.1.3.2

Additionnez $x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[0, 4]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt{x^{1}}$

Étape 2.2.1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt{x}$

Étape 2.2.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[0, 4]$ car la dérivée est continue sur $[0, 4]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[0, 4]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[0, 4]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.8

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.12

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 6.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 6.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 6.1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 6.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 6.1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Étape 6.1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Étape 6.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Étape 6.4

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $5$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 6.4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 6.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Forme décimale :

$6.78689325 \dots$

Étape 8