Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 2 + x (x^{2} - 3)$ , $[3, 6]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $g (x) = 2 + x (x^{2} - 3)$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$g (x)$ est continu sur $[3, 6]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x (x^{2} - 3)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$

Étape 3.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)]$ .

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Étape 3.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 3$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$0 + x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 3.1.2.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$0 + x (2 x) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 3.1.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + 2 (x^{1} x) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 3.1.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 3.1.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + 2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 3.1.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 + 2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1$

Étape 3.1.2.11

Multipliez $x^{2} - 3$ par $1$ .

$0 + 2 x^{2} + x^{2} - 3$

Étape 3.1.2.12

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$0 + 3 x^{2} - 3$

Étape 3.1.3

Additionnez $0$ et $3 x^{2} - 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Étape 3.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(3, 6)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$g' (x)$ est continu sur $(3, 6)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(3, 6)$ car la dérivée est continue sur $(3, 6)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$g (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[3, 6]$ et différentiable sur $(3, 6)$ .

$g (x)$ est continu sur $[3, 6]$ et différentiable sur $(3, 6)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[3, 6]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$g (3) = 2 + (3) ({(3)}^{2} - 3)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$g (3) = 2 + 3 (9 - 3)$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$g (3) = 2 + 3 \cdot 6$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$g (3) = 2 + 18$

Étape 7.2.2

Additionnez $2$ et $18$ .

$g (3) = 20$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $20$ .

$20$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[3, 6]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$g (6) = 2 + (6) ({(6)}^{2} - 3)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$g (6) = 2 + 6 (36 - 3)$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $3$ de $36$ .

$g (6) = 2 + 6 \cdot 33$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $6$ par $33$ .

$g (6) = 2 + 198$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $198$ .

$g (6) = 200$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $200$ .

$200$

Étape 9

Résolvez $3 x^{2} - 3 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $3 x^{2} - 3 = \frac{- (f (6) + f (3))}{- (6 + 3)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(200) - (20)}{(6) - (3)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{200 - 20}{6 - (3)}$

Étape 9.1.1.2

Soustrayez $20$ de $200$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{180}{6 - (3)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{180}{6 - 3}$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$3 x^{2} - 3 = \frac{180}{3}$

Étape 9.1.3

Divisez $180$ par $3$ .

$3 x^{2} - 3 = 60$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 60 + 3$

Étape 9.2.2

Additionnez $60$ et $3$ .

$3 x^{2} = 63$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 63$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 63$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{63}{3}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{63}{3}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{63}{3}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Divisez $63$ par $3$ .

$x^{2} = 21$

Étape 9.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{21}$

Étape 9.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{21}$

Étape 9.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{21}$

Étape 9.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{21}, - \sqrt{21}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \sqrt{21}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 3$ et $b = 6$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \sqrt{21}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 3$ et $b = 6$

Étape 11

Il y a une droite tangente sur $x = - \sqrt{21}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 3$ et $b = 6$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - \sqrt{21}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 3$ et $b = 6$

Étape 12