Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Étape 1

Écrivez $y = 4 x - 2$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée de $f (x) = 4 x - 2$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f' (x) = 4$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4$ .

$4$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

$f' (x)$ est continu sur $[1, 3]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 5

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 x]_{1}^{3})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $4 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} ((4 \cdot 3) - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12 - 4 \cdot 1)$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12 - 4)$

Étape 8.2.3

Soustrayez $4$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (8)$

Étape 9

Soustrayez $1$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 4$

Étape 11