Calcul infinitésimal Exemples

$y = 100 - x^{2}$ , $[- 10, 10]$

Étape 1

Écrivez $y = 100 - x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 100 - x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée de $f (x) = 100 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.3

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x$ .

$- 2 x$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

$f' (x)$ est continu sur $[- 10, 10]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 5

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (\int_{- 10}^{10} - 2 x d x)$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 \int_{- 10}^{10} x d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 10}^{10}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 10}^{10}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $10$ et sur $- 10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{100}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (\frac{50}{1} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.2.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{{(- 10)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.3

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{100}{2}))$

Étape 9.2.2.4

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2}))$

Étape 9.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)}))$

Étape 9.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1}))$

Étape 9.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - \frac{50}{1}))$

Étape 9.2.2.4.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - 1 \cdot 50))$

Étape 9.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 (50 - 50))$

Étape 9.2.2.6

Soustrayez $50$ de $50$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (- 2 \cdot 0)$

Étape 9.2.2.7

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 10} (0)$

Étape 10

Additionnez $10$ et $10$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot 0$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{20}$ par $0$ .

$A (x) = 0$

Étape 12