Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Étape 1

Écrivez $y = x^{2} - 3 x + 1$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

$f' (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 5

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Étape 12.2

Évaluez $- 3 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 12.3.9

Multipliez $3$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Étape 12.3.10

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Étape 12.3.11

Soustrayez $6$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Étape 13.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = - 1$

Étape 15