Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Étape 1

Écrivez $y = \sqrt{2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée de $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.1.10

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.11.1

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.11.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.12

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.12.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.12.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f' (x)$ est continu sur $[2, 8]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Étape 3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Étape 3.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Étape 3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Simplifiez ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.4

Simplifiez

$2 x = 0^{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 x = 0$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 4

$f' (x)$ est continu sur $[2, 8]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 5

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $8$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 10.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.6

Additionnez $2$ et $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.7

Factorisez le signe négatif.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Étape 10.2.8

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Étape 10.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Étape 10.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Étape 10.2.12

Additionnez $2$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2^{\frac{5}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $2^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Étape 11.3.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.1

Divisez $4$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 11.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 11.4.3

Divisez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Étape 11.4.4

Évaluez l’exposant.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Étape 11.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Étape 11.5

Soustrayez $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Étape 12

Soustrayez $2$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Étape 14