Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x}{3} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + 3$

Étape 1.1.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.1.4.2

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 + 9}{3}$

Étape 1.1.4.4.2

Additionnez $2$ et $9$ .

$f' (x) = \frac{11}{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{11}{3}$ .

$\frac{11}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur $[- 1, 0]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{11}{3} x$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{11}{3}$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

Étape 7.2.3

Multipliez $\frac{11}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

Étape 7.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{11}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

Étape 8

Additionnez $0$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

Étape 10

Multipliez $\frac{11}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{11}{3}$

Étape 11