Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{3}{x - 2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Étape 2

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[4, 7]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[4, 7]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Étape 7

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 7.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Étape 7.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Étape 7.5

Soustrayez $2$ de $7$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Étape 9

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $5$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Étape 11.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Étape 12

Soustrayez $4$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Étape 14