Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $(2, 5)$

Étape 1

Écrivez $y = x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[2, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $5$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 7.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Étape 7.2.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Étape 7.2.5

Associez $- 8$ et $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3})$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Étape 7.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3})$

Étape 7.2.8

Soustrayez $8$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3})$

Étape 7.2.9

Annulez le facteur commun à $117$ et $3$ .

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Étape 7.2.9.1

Factorisez $3$ à partir de $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3})$

Étape 7.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)})$

Étape 7.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1})$

Étape 7.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1})$

Étape 7.2.9.2.4

Divisez $39$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39)$

Étape 8

Soustrayez $2$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 39$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $39$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (13))$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 13)$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 13$

Étape 10